Понятие доказательства
Невозможно переоценить значение доказательств в нашей жизни и особенно в науке. И тем не менее даже в серьезных рассуждениях доказательства встречаются не так часто, как хотелось бы. К доказательствам прибегают все, но редко кто задумывается над тем, что означает «доказать», почему доказательство «доказывает», всякое ли утверждение нужно доказывать и т. п.
Прямое и косвенное доказательства
Немецкий философ А. Шопенгауэр считал математику довольно интересной наукой, но не имеющей никаких приложений, в том числе и в физике. Он даже отвергал саму технику строгих математических доказательств. Шопенгауэр называл их мышеловками и приводил в качестве примера доказательство известной теоремы Пифагора. Оно является, конечно, точным: никто не может считать его ложным. Но оно представляет собой совершенно искусственный способ рассуждения. Каждый шаг его убедителен, однако к концу доказательства возникает чувство, что вы попали в мышеловку. Математик вынуждает вас допустить справедливость теоремы, но вы не получаете никакого реального ее понимания. Это все равно, как если бы вас провели через лабиринт. В конце концов вы выходите из лабиринта и говорите себе: «Да, я вышел, но не знаю, как здесь очутился».
Ошибки в доказательстве
Логику редко изучают специально. Навыки логичного, т. е. последовательного и доказательного мышления формируются и совершенствуются в практике рассуждений. Но, как заметил английский философ Ф. Бэкон, упражнения, не просветленные теорией, с одинаковым успехом закрепляют как правильное, так и ошибочное. Неудивительно поэтому, что ошибки в доказательствах — вещь довольно обычная.
Опровержение
О доказательстве в логике говорится много, об опровержении — только вскользь. Причина понятна: опровержение представляет собой как бы зеркальное отображение доказательства. Опровержение — это рассуждение, направленное против выдвинутого положения и имеющее своей целью установление его ошибочности или недоказанности.
Доказательство как вычисление
Еще в ХVII в. Г. В. Лейбниц высказал идею представить логическое доказательство как «игру со знаками». Эта «игра» должна осуществляться по простым правилам, напоминающим правила вычисления в математике и принимающим во внимание только внешний вид знаков. Лейбниц верил, что если это удастся, наступит золотой век, когда с помощью новой логики самые сложные и отвлеченные проблемы будут «вычисляться» так же легко, как в математике вычисляется сумма чисел. Эта программа формализовать доказательство и тем самым перестроить логику по образцу математики намного опережала свое время и начала реализовываться только двести лет спустя.
Как мыслит машина
Когда стали появляться все более совершенные вычислительные машины, производящие миллионы операций в секунду, очень популярным был вопрос: может ли машина мыслить? Не окажется ли в недалеком будущем так, что существенно усовершенствованная вычислительная машина начнет мыслить, как человек, а потом и превзойдет его в сфере мышления? В сфере, считающейся отличительной особенностью человека. Ведь человек, согласно его определению, восходящему еще к античности, — всего лишь разумное животное.
Изменение смысла основных понятий логики
Современная логика растет не только вширь, но и вглубь, хотя последний процесс менее заметен из-за сопровождающих его споров. Прояснение и углубление оснований логики сопровождается пересмотром и уточнением таких центральных ее понятий, как логическая форма, логический закон, доказательство, логическое следование и т.д.
Психология в спорте