Понятие доказательства

Невозможно переоценить значение доказательств в нашей жизни и особенно в науке. И тем не менее даже в серьезных рассуждениях доказательства встречаются не так часто, как хотелось бы. К доказательствам прибегают все, но редко кто задумывается над тем, что означает «доказать», почему доказательство «доказывает», всякое ли утверждение нужно доказывать и т. п.

Одна из основных задач логики — дать точное значение понятию доказательство. Это понятие является одним из основных в логике, но оно не имеет точного, универсального определения, применимого во всех случаях и в любых научных теориях. Доказательство — это всего лишь рассуждение, убеждающее нас настолько, что мы готовы с его помощью убеждать других. Логическая теория доказательства в основе своей проста и доступна, но ее детализация требует специального символического языка и другой изощренной техники современной логики.

Под доказательством в логике обычно понимают процедуру установления обоснованности некоторого утверждения путем приведения других утверждений, обоснованность которых уже известна и из которых с необходимостью вытекает первое.

Во всяком доказательстве имеются тезис — утверждение, которое нужно доказать, основание (аргументы) — те положения, с помощью которых доказывается тезис, и логическая связь между аргументами и тезисом. Понятие доказательства предполагает, таким образом, указание посылок, на которые опирается тезис, и логических правил, по которым выводят утверждения в ходе доказательства.

Например, нужно доказать тезис «Все люди смертны». Подбираем в качестве аргументов утверждения, которые являются истинными и из которых логически вытекает тезис. В качестве таких утверждений можно принять, в частности, следующие: «Все многоклеточные организмы смертны» и «Все люди являются многоклеточными организмами». Строим умозаключение:

Все многоклеточные организмы смертны.
Все люди являются многоклеточными организмами.
--------------------------------------------------------------
Все люди смертны.

Данное умозаключение является правильным, посылки его истинны; значит, умозаключение представляет собой доказательство исходного тезиса.

Доказательство — это правильное умозаключение с обоснованными посылками. Логическую основу каждого доказательства (т. е. его схему) составляет логический закон (или система таких законов).

Отношение разных людей к одному и тому же доказательству может быть очень разным. Кто-то принимает определенное доказательство как нечто самоочевидное, в то время как другой убежден, что никакого доказательства на самом деле нет.

Будучи студентом, И. Ньютон начал изучение геометрии, как в то время было принято, с чтения «Геометрии» Евклида. Знакомясь с формулировками теорем, он видел, что эти теоремы справедливы, и не изучал их доказательства. Его удивляло, что люди затрачивают столько усилий, чтобы доказать совершенно очевидное. Позднее Ньютон изменил свое мнение о необходимости доказательств в математике и других науках и очень хвалил Евклида именно за безупречность и строгость его доказательств.